المثلث القائم أو المثلث القائم الزاوية هو مثلث تكون فيه إحدى زواياه قائمة، أي تساوي 90 درجة، والعلاقة بين أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية هي أساس حساب المثلثات، وبالتالي فإن الضلع مقابل الزاوية اليمنى يسمى الوتر، والأضلاع المجاورة للزاوية القائمة تسمى الأرجل، ويمكن تحديد الضلع أ على أنه الضلع المجاور للزاوية ب والمقابل للزاوية أ (أو المقابل لها)، بينما الضلع b هو الضلع المجاور للزاوية A والزاوية المقابلة B، وإذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية أعداد صحيحة، فيُقال إن المثلث مثلث فيثاغورس، وأطوال أضلاعه تُعرف مجتمعة باسم ثلاثية فيثاغورس.
الخصائص الرئيسية للمثلثات
كما هو الحال مع أي مثلث، فإن المساحة تساوي نصف القاعدة مضروبة في الارتفاع المقابل، وفي المثلث القائم الزاوية، إذا تم أخذ إحدى الساقين كقاعدة، فإن الأخرى هي الارتفاع، وبالتالي فإن مساحة اليمين المثلث هو نصف حاصل ضرب الساقين.
إذا تم رسم ارتفاع الرأس بالزاوية اليمنى للوتر، فسيتم تقسيم المثلث إلى مثلثين صغيرين متشابهين مع الأصل وبالتالي متشابهين مع بعضهما البعض، فإن ارتفاع الوتر هو المتوسط الهندسي (المتوسط) متناسب) من جزأين من الوتر، حيث يكون كل جانب من المثلث هو متوسط نسبة الوتر إلى جزء الساق المجاور من الوتر.
عمود يسقط من قمة مثلث قائم الزاوية
يتزامن الارتفاع من أي من الساقين مع الأخرى ؛ نظرًا لأن هذه تتقاطع عند الرأس القائم الزاوية، فإن المركز الرأسي للمثلث القائم الزاوية يتقاطع مع ارتفاعاته الثلاثة ويتزامن مع الرأس القائم الزاوية، وبالتالي فإن رأس المثلث قائم الزاوية هو نقطة تقاطع جانبي المثلث.
نظرية فيتاغورس
تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي، أنه في أي مثلث قائم الزاوية، فإن مساحة المربع الذي يكون ضلعه هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مساحات المربعات التي يبلغ جانبها قدمان ( الجانبين اللذين يلتقيان بزاوية قائمة)).
في المثلث القائم الزاوية، الضلع المقابل لزاوية 90 درجة هو أطول ضلع في المثلث، ويسمى الوتر، ويشار إلى أضلاع المثلث القائم أيضًا بالمتغيرات أ، ب، ج، حيث ج هو الوتر و أ و ب هما أطوال الأضلاع الأقصر.